داوود دومیری گنجیاستاد مهندسی مکانیکEnglishارتباط با استاد
روش‌ها/ADM
سطح پیشرفته · یادداشت آموزشی 12 دقیقه‌ای

روش تجزیهٔ آدومیان

حل و جملهٔ غیرخطیِ آن را هم‌زمان تجزیه کنید.

u(0.5) = 2/3مدل این یادداشتu(t) = 1 / (1 + t)10.51tuحل دقیق مرجع · u′ + u² = 0, u(0) = 1
حل دقیق مرجع که در سراسر یادداشت‌های آموزشی به کار می‌رود.

ایدهٔ روش، به زبان ساده.

حل را به‌صورت مجموع مؤلفه‌ها و جملهٔ غیرخطی را به‌صورت مجموع متناظر چندجمله‌ای‌های آدومیان بیان کنید. اعمال وارون عملگر خطی، روشی بازگشتی برای ساخت مؤلفه‌ها به دست می‌دهد که مدل غیرخطیِ اصلی را حفظ می‌کند.

u=∑n=0∞unAn=∑j=0nujun−jun+1(t)=−∫0tAn(s) ds\begin{gathered}u=\sum_{n=0}^{\infty}u_n\\A_n=\sum_{j=0}^{n}u_ju_{n-j}\\u_{n+1}(t)=-\int_0^t A_n(s)\,ds\end{gathered}

خاستگاه و ارتباط با پژوهش‌های گنجی

این روش را George Adomian توسعه داده است. گنجی و همکارانش ADM را به کار برده و با دیگر روش‌های تحلیلی مقایسه کرده‌اند.

پژوهش‌های مشترک گنجی از ADM در انتقال حرارت، جریان Jeffery–Hamel و معادلات دیفرانسیل غیرخطی استفاده می‌کنند.

پیش‌نیازها: انتگرال‌گیری به‌عنوان عملگر وارون · سری‌های توانی · توابع غیرخطی · تطبیق ضرایب.

روش را گام‌به‌گام دنبال کنید.

  1. وارون بخش خطی را اعمال کنیداز u′=−u² با استفاده از مقدار اولیه انتگرال بگیرید تا u(t)=1−∫₀ᵗu(s)²ds به دست آید.
  2. جملهٔ غیرخطی را تجزیه کنیدبرای تابع مربع، چندجمله‌ای‌های آدومیان به‌صورت A₀=u₀²، A₁=2u₀u₁، A₂=2u₀u₂+u₁² و به همین ترتیب هستند.
  3. مؤلفه‌ها را بسازیدu₀=1 قرار دهید و از uₙ₊₁=−∫Aₙ استفاده کنید. مؤلفه‌های محاسبه‌شده، هر جملهٔ بعدی را تعیین می‌کنند.
  4. جمع کنید و بسنجیدیک مجموع متناهی بسازید، باقی‌ماندهٔ آن را ارزیابی کنید و نتیجه را با یک حل دقیق یا یک حل عددیِ مرجع با همگراییِ مستقل تأییدشده مقایسه کنید.
مثال حل‌شده

جملهٔ واکنش درجهٔ دوم را تجزیه کنید

u′+u²=0, u(0)=1حل دقیق مرجع: u(t)=1/(1+t)
  1. از u₀=1، مقادیر A₀=1 و u₁=−t به دست می‌آیند.
  2. از A₁=2u₀u₁=−2t، مقدار u₂=t² به دست می‌آید.
  3. از A₂=2u₀u₂+u₁²=3t²، مقدار u₃=−t³ به دست می‌آید.
  4. مجموع جزئی 1−t+t²−t³ برای این مسئلهٔ مشخص با ساختار حاصل از HPM و DTM یکسان است.

بررسی نتیجه

در t=0.5، مقدار S₃=0.625 است، درحالی‌که u_exact=2/3؛ خطای مطلق برابر 1/24 است.

چندجمله‌ای‌های غیرخطی جمله‌های متقاطع را سامان می‌دهند؛ جمله‌هایی که با به‌توان‌دو‌رساندنِ جداگانه و نادرست هر مؤلفه از دست می‌روند. سری‌های نهاییِ یکسان، محدوده‌های همگراییِ یکسانی دارند.

کاوش در دفتر تعاملی

مرزهای کاربرد را بشناسید.

  • ساخت چندجمله‌ای‌های غیرخطی در مرتبه‌های بالا ممکن است هزینهٔ محاسباتی زیادی داشته باشد.
  • تجزیه، ضرورت اثبات همگرایی را از میان نمی‌برد.
  • در مسائل مقدار مرزی، ثابت‌های انتگرال‌گیری و همهٔ شرایط مرزی باید با دقت در نظر گرفته شوند.

زمینه‌های کاربرد

جریان Jeffery–Hamelمدل‌های انتقال حرارتمعادلات موج غیرخطی

منابع اصلی را بخوانید.

این متن توضیحی آموزشی و اختصاصی است و ادعا نمی‌کند که همهٔ روش‌های ارائه‌شده را استاد گنجی ابداع کرده است. مدل حل‌شده عمداً در یادداشت‌ها مشترک انتخاب شده تا بتوان نتایج و محدودیت‌ها را مقایسه کرد.

بازگشت به همهٔ روش‌ها