داوود دومیری گنجیاستاد مهندسی مکانیکEnglishارتباط با استاد
روش‌ها/DTM
سطح میانی · یادداشت آموزشی 10 دقیقه‌ای

روش تبدیل دیفرانسیل

یک سری توانی محلی را با روابط بازگشتی ضرایب محاسبه کنید.

u(0.5) = 2/3مدل این یادداشتu(t) = 1 / (1 + t)10.51tuحل دقیق مرجع · u′ + u² = 0, u(0) = 1
حل دقیق مرجع که در سراسر یادداشت‌های آموزشی به کار می‌رود.

ایدهٔ روش، به زبان ساده.

مشتق‌ها را در نقطهٔ بسط با ضرایب مقیاس‌شده نمایش دهید. مشتق‌گیری شاخص ضرایب را جابه‌جا می‌کند و ضرب به هم‌پیچی تبدیل می‌شود. تبدیل معادلهٔ حاکم، رابطه‌ای بازگشتی به دست می‌دهد که با آن می‌توان ضرایب را یکی‌یکی محاسبه کرد.

U(k)=u(k)(0)k!(k+1)U(k+1)=−∑j=0kU(j)U(k−j)\begin{gathered}U(k)=\frac{u^{(k)}(0)}{k!}\\(k+1)U(k+1)\\=-\sum_{j=0}^{k}U(j)U(k-j)\end{gathered}

خاستگاه و ارتباط با پژوهش‌های گنجی

صورت‌بندی مهندسیِ تبدیل دیفرانسیل با کار J. K. Zhou در سال 1986 دربارهٔ مدارهای الکتریکی شناخته می‌شود و بر سری تیلور استوار است. گنجی و همکارانش این روش را در جریان، انتقال حرارت و نوسان‌ها به کار برده‌اند.

کاربردهای این روش در پژوهش‌های مشترک گنجی شامل پره‌های حرارتی، جریان میکروقطبی در کانال، انتقال نانوذرات و نوسان غیرخطی است.

پیش‌نیازها: سری تیلور · مشتق‌ها · مجموع‌های متناهی · مسائل مقدار اولیه.

روش را گام‌به‌گام دنبال کنید.

  1. نقطهٔ بسط را تعیین کنیدU(k)=u⁽ᵏ⁾(t₀)/k! را تعریف کنید و داده‌های اولیه را به ضرایب نخست تبدیل کنید.
  2. هر عمل را تبدیل کنیدضریب u′ برابر (k+1)U(k+1) است؛ ضریب u² نیز با هم‌پیچی ΣU(j)U(k−j) به دست می‌آید.
  3. رابطهٔ بازگشتی را محاسبه کنیدبرای افت غیرخطی، U(0)=1 است. ضرایب بعدی عبارت‌اند از U(1)=−1، U(2)=1 و U(3)=−1.
  4. حل را بازسازی کنید و با دقت ادامه دهیدسری موضعیِ قطع‌شده را بسازید. اگر بازهٔ طولانی‌تری لازم است، از ادامهٔ حل روی زیربازه‌ها با روشی آزموده یا از یک تقریب گویا با شرح روشن استفاده کنید و نتیجه را ارزیابی کنید.
مثال حل‌شده

سری تیلورِ افت غیرخطی را بازیابی کنید

u′+u²=0, u(0)=1حل دقیق مرجع: u(t)=1/(1+t)
  1. در k=0، داریم U(1)=−U(0)²=−1.
  2. در k=1، داریم 2U(2)=−[U(0)U(1)+U(1)U(0)]=2؛ بنابراین U(2)=1.
  3. در k=2، داریم 3U(3)=−[1+1+1]=−3؛ بنابراین U(3)=−1.
  4. با ادامهٔ محاسبه، U(k)=(−1)ᵏ به دست می‌آید؛ همان سری هندسیِ موضعی که در مثال HPM حاصل شد.

بررسی نتیجه

در t=0.5، نگه‌داشتن جمله‌های k=0…4 مقدار 0.6875 را می‌دهد؛ مقدار دقیق 2/3 است.

DTM محاسبهٔ ضرایب تیلور را بازآرایی می‌کند. نزدیک‌ترین تکینگی همچنان بسط تیلورِ موضعی را محدود می‌کند؛ در اینجا قطب t=−1 شعاع همگرایی 1 را تعیین می‌کند.

کاوش در دفتر تعاملی

مرزهای کاربرد را بشناسید.

  • DTM معمول بر پایهٔ تیلور، به تحلیلی‌بودن تابع در دامنهٔ همگرایی آن نیاز دارد.
  • یک چندجمله‌ای موضعی لزوماً رفتار بلندمدت یا دوردست را بازنمایی نمی‌کند.
  • تعمیم‌های پاده و چندگامی، روش‌هایی افزوده‌اند که مسائل همگرایی و خطای خاص خود را دارند.

زمینه‌های کاربرد

جریان میکروقطبی در کانالپره‌های وابسته به دماارتعاشات غیرخطی

منابع اصلی را بخوانید.

این متن توضیحی آموزشی و اختصاصی است و ادعا نمی‌کند که همهٔ روش‌های ارائه‌شده را استاد گنجی ابداع کرده است. مدل حل‌شده عمداً در یادداشت‌ها مشترک انتخاب شده تا بتوان نتایج و محدودیت‌ها را مقایسه کرد.

بازگشت به همهٔ روش‌ها