روش تحلیل هموتوپی

ایدهٔ روش، به زبان ساده.

HAM از یک پارامتر تعبیه، یک عملگر خطی کمکی با انتخاب آزاد و پارامتر ناصفرِ کنترل همگرایی ℏ استفاده می‌کند. این انتخاب‌ها دنبالهٔ زیرمسئله‌های خطی را تغییر می‌دهند و می‌توانند تقریب سری را بهبود دهند. درستی آن‌ها باید با تحلیل و بررسی باقی‌مانده یا آزمون‌های عددی توجیه شود.

پیش‌نیازها: سری‌های توانی · عملگرهای خطی · معادلات دیفرانسیل غیرخطی · ارزیابی باقی‌مانده.

روش را گام‌به‌گام دنبال کنید.

1. مسئلهٔ غیرخطی را تعریف کنیدN[u]=0، دامنه و همهٔ شرایط اولیه یا مرزی را مشخص کنید.
2. اجزای کمکی را انتخاب کنیدu₀، یک عملگر خطی L که بر فضای مقید وارون‌پذیر باشد و یک پارامتر ناصفر ℏ را انتخاب کنید. داده‌های فیزیکی مسئله را در فرایند تغییرشکل حفظ کنید.
3. برحسب پارامتر تعبیه بسط دهیدφ=u₀+Σqᵐuₘ را بنویسید و ضرایب توان‌های یکسان q را تطبیق دهید تا معادلات خطیِ تغییرشکل را به‌ترتیب به دست آورید.
4. ℏ را انتخاب و ارزیابی کنیدباقی‌مانده‌ها و پایداری را برای مقادیر پیشنهادی ℏ و مرتبه‌های مختلف قطع سری بررسی کنید. تخت‌بودن نمودار پارامتر، نشانه‌ای تشخیصی و مفید است؛ اما اثباتی عمومی برای همگرایی نیست.

دو جملهٔ نخست تغییرشکل

1. u₀=1، L=d/dt و uₘ(0)=0 برای m≥1 را انتخاب کنید.
2. معادلهٔ q¹ می‌دهد u₁′=ℏ؛ بنابراین u₁=ℏt.
3. معادلهٔ q² می‌دهد u₂′−u₁′=ℏ(u₁′+2u₁)؛ بنابراین u₂=(ℏ+ℏ²)t+ℏ²t².
4. در q=1، تقریب حاصل از دو اصلاح برابر است با 1+(2ℏ+ℏ²)t+ℏ²t². با انتخاب ℏ=−1، این تقریب به 1−t+t² تبدیل می‌شود.

پارامتر کمکی تقریب متناهی را تغییر می‌دهد. انتخاب پارامتر بخشی از بررسی عددی یا تحلیلی است و تضمین نمی‌کند که هر انتخابی نتیجهٔ مناسبی بدهد.

مرزهای کاربرد را بشناسید.

• انتخاب نامناسب عملگر کمکی، پایه، حدس اولیه یا ℏ می‌تواند به واگرایی بینجامد.
• سری حل باید در q=1 همگرا باشد و با توجیه اعتبار عملیات جمله‌به‌جمله، معادلهٔ هدف را برآورده کند.
• رابطهٔ میان HPM و HAM به هموتوپی و انتخاب‌های کمکیِ مشخص بستگی دارد.

زمینه‌های کاربرد

منابع اصلی را بخوانید.

• Liao (2009). Notes on the homotopy analysis method: Some definitions and theorems. ↗
  تعریف‌ها و تحلیل روش · DOI 10.1016/j.cnsns.2008.04.013
• Rashidi, Ganji & Dinarvand (2008). Approximate Traveling Wave Solutions of Coupled Whitham–Broer–Kaup Shallow Water Equations by Homotopy Analysis Method. ↗
  کاربرد در پژوهش گنجی · DOI 10.1155/2008/243459

این متن توضیحی آموزشی و اختصاصی است و ادعا نمی‌کند که همهٔ روش‌های ارائه‌شده را استاد گنجی ابداع کرده است. مدل حل‌شده عمداً در یادداشت‌ها مشترک انتخاب شده تا بتوان نتایج و محدودیت‌ها را مقایسه کرد.