ایدهٔ روش، به زبان ساده.
تابعکِ اصلاحی شامل باقی‌ماندهٔ فعلی و یک ضریب لاگرانژ بسازید. ضریب را از شرایط ایستاییِ عملگر انتخاب‌شده تعیین کنید و سپس تکرار را انجام دهید. در یک مسئلهٔ مقدار اولیهٔ ساده از مرتبهٔ اول، این روند ممکن است به یک تکرار انتگرالیِ آشنا فروکاسته شود.
خاستگاه و ارتباط با پژوهش‌های گنجی
این روش را Ji-Huan He توسعه داده است و پیشینه‌هایی در رویکردهای قدیمی‌ترِ اصلاح تغییراتی دارد. گنجی در کارهایش VIM را به کار می‌برد و مقایسه می‌کند؛ او مبدع این روش نیست.
گنجی و همکارانش VIM را در کنار دیگر روش‌های تحلیلی برای مسائل حرارتی و معادلات تحول غیرخطی بررسی کرده‌اند.
پیش‌نیازها: انتگرال‌گیری · مسائل مقدار اولیه · مبانی استدلال تغییراتی · باقی‌مانده‌ها.
روش را گام‌به‌گام دنبال کنید.
- باقی‌مانده را مشخص کنیدمعادله را به‌صورت L(u)+N(u)−f=0 بنویسید و داده‌های تعیین‌شدهٔ مسئله را در نظر داشته باشید.
- ضریب را به دست آوریدیک انتگرال اصلاحی بسازید و شرایط ایستاییِ مناسب را اعمال کنید. ضریب به عملگر بستگی دارد؛ مقدار −1 برای این مثال درست است، نه برای هر معادله‌ای.
- از یک حدس مجاز تکرار را آغاز کنیدبا u₀=1 آغاز کنید. اگر هر تقریب شرط uₙ(0)=1 را برآورده کند، رابطهٔ اصلاحی به‌صورت uₙ₊₁(t)=1−∫₀ᵗuₙ(s)² ds درمی‌آید.
- همگرایی را بررسی کنیداختلاف میان تقریب‌های متوالی را همراه با باقی‌ماندهٔ معادلهٔ حاکم و یک حل مرجع مستقل بررسی کنید.
دو اصلاح برای مسئلهٔ افت غیرخطی
- u₀(t)=1 و ضریب متناظر با عملگر مرتبهٔ اول، λ=−1، را انتخاب کنید.
- نخستین اصلاح برابر است با u₁(t)=1−∫₀ᵗ1 ds=1−t.
- دومین اصلاح برابر است با u₂(t)=1−∫₀ᵗ(1−s)² ds=1−t+t²−t³/3.
- هر تقریب شرط uₙ(0)=1 را برآورده می‌کند. شاخص تکرار با تعداد جمله‌های نگه‌داشته‌شده در سری HPM یکسان نیست.
بررسی نتیجه
در t=0.25، داریم u₂≈0.8072917 و u_exact=0.8.
در این مسئله، VIM به تکرار پیکارد فروکاسته می‌شود. چارچوب‌های تحلیلی متفاوت ممکن است به یک ساختار تکراریِ مشترک برسند.
کاوش در دفتر تعاملیمرزهای کاربرد را بشناسید.
- ضریب باید برای عملگر خطی و ساختار شرایط مرزیِ همان مسئله به دست آید.
- همگراییِ دنبالهٔ اصلاح‌ها به شرایط مسئله وابسته است و ممکن است موضعی باشد.
- تغییر سریع درجهٔ چندجمله‌ای، به‌تنهایی دقت بیشتر را ثابت نمی‌کند.
زمینه‌های کاربرد
منابع اصلی را بخوانید.
- He (1999). Variational iteration method—a kind of non-linear analytical technique: some examples. ↗مقالهٔ بنیان‌گذار روش · DOI 10.1016/S0020-7462(98)00048-1
- Ganji and collaborators (2009). Analytical solutions to nonlinear equations arising in heat transfer by variational iteration, homotopy perturbation, and Adomian decomposition methods. ↗کاربرد در پژوهش گنجی · DOI 10.1002/num.20503
این متن توضیحی آموزشی و اختصاصی است و ادعا نمی‌کند که همهٔ روش‌های ارائه‌شده را استاد گنجی ابداع کرده است. مدل حل‌شده عمداً در یادداشت‌ها مشترک انتخاب شده تا بتوان نتایج و محدودیت‌ها را مقایسه کرد.